Berechnen Sie das Integral
\[ \int \sin^2(x) \cos^3(x) \; dx \]
Schreiben Sie es um als
\[ = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \cos x \; dx \]
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) und setzen Sie ein
\[ = \int \sin^2(x) (1 - \sin^2(x)) \cos x \; dx \]
Erweitern Sie den Integranden
\[ = \int (\sin^2(x) - \sin^4(x)) \cos x \; dx \]
Verwenden Sie die Integration durch Substitution: \( u = \sin x \) so dass \( du = \cos x \; dx \)
\[ = \int (u^2 - u^4) \; du \]
Verwenden Sie das Standardintegral \( \int u^n du = \dfrac{1}{n+1} u^{n+1}+ c\) um das obige Integral zu berechnen
\[ \dfrac{1}{3} u^3 - \dfrac{1}{5} u^5 + c \]
Setzen Sie \( u = \sin x \) wieder ein, um die endgültige Antwort zu erhalten
\[ \boxed { \int \sin^2(x) \cos^3(x) \; dx = \dfrac{1}{3} \sin^3 (x) - \dfrac{1}{5} \sin^5 (x) + c } \]