Herleitung und Auswertung
Berechnen Sie das Integral:
\[ \int \sin^2(x) \cos^3(x) \, dx \]Schreiben Sie das Integral um, indem Sie einen einzelnen Cosinus-Faktor abspalten:
\[ = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \cos x \, dx \]Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) und setzen Sie ein:
\[ = \int \sin^2(x) (1 - \sin^2(x)) \cos x \, dx \]Entwickeln Sie den Integranden:
\[ = \int (\sin^2(x) - \sin^4(x)) \cos x \, dx \]Verwenden Sie die Integration durch Substitution: Sei \( u = \sin x \), was \( du = \cos x \, dx \) ergibt. Das Einsetzen hiervon liefert:
\[ = \int (u^2 - u^4) \, du \]Berechnen Sie das Integral unter Verwendung der gängigen Integralformel \( \int u^n \, du = \dfrac{1}{n+1} u^{n+1} + c \):
\[ \dfrac{1}{3} u^3 - \dfrac{1}{5} u^5 + c \]wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.
Setzen Sie \( u = \sin x \) wieder ein, um das Endergebnis zu erhalten:
Integralformel für \( \sin^2(x)\cos^3(x) \):
\[ \int \sin^2(x) \cos^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3} \sin^3 x - \dfrac{1}{5} \sin^5 x + c \]
Weitere Literaturhinweise und Links
- Tabelle der Integralformeln
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8